Математическое доказательство содержится в уравнении (4) из упражнения 1 (стр. 381). Те же эксперименты демонстрируют наличие слабой корреляции между выборками и партиями.

В эксперименте надо всего лишь разделить на две части партию из 50 бусин, одна часть будет выборкой, другая — остатком (рис. 56). Для каждой партии сосчитайте и запишите число красных бусин в выборке и в остатке; затем верните 50 бусин этой партии в емкость. Перемешайте бусины и извлеките новую партию.

Полезно ввести некоторые обозначения. Партии постоянного объема N поступают с дефектами, распределенными биномиально со средним значением р. Из каждой партии извлекается без возврата выборка постоянного объема п. Считается число дефектов в каждой выборке и в каждом остатке. Пусть число дефектов в выборке будет 5, а число дефектов в остатке — г (как и раньше). Тогда 5 и г будут случайными числами, для совместного распределения которых существует уравнение (4), стр. 381). Пусть

P=s/n, доля красных в выборке, p = r/(N-n), доля красных в остатке,

War p = pq/n,

Ер = р,

Var p = pq/(N-n), Cov(p, p) = 0.

Дисперсии pup' уменьшаются с ростом Nun. Следовательно, большая выборка из крупной партии обеспечивает информацию о числе дефектов в оставшейся части совокупности и в партиях. Более того, мы можем для количественной проблемы (когда наша цель — дать характеристику партии по выборке) применить выборочную теорию для оценки партии и стандартных ошибок этих оценок.

Теперь взглянем на некоторые реальные результаты для выбранных объемов партий и выборок. На рис. 57-60 показана доля красных бусин в биномиальных выборках и остатках для выбранных значений Nun (данные были любезно подготовлены моим другом Бенджамином Теппингом на его компьютере). На самом деле выборка и оставшаяся часть — это выборки из одной и той же партии. На каждом графике представлены 100 выборок. Графики явно демонстрируют нулевую корреляцию между выборкой и остатком. Но чем больше выборка, тем лучше оценка доли красных бусин в выборках и остатках. Так, рис. 60 для выборки п = 1000 и остатка N-n = = 9000 показывает, что большая выборка обеспечивает хорошую оценку как остатка, так и всей совокупности (выборка плюс остаток — в нашем случае чаша с красными и белыми бусинами), даже несмотря на то, что выборка и остаток некоррелированы. Удивительная особенность статистической теории состоит в том, что она позволяет нам по одной-единственной выборке, если та достаточно велика, вычислить размер поля, которое покрывает на рис. 57-60 в среднем 95% (например) возникших точек.